多元微积分笔记（二）多元函数的极限

第二讲 多元函数的极限

1.聚点和极限的定义

设 \(E \subseteq \mathbb{R}^{m}\), 称 \(\mathbf{x}^{*} \in \mathbb{R}^{m}\) 是 \(E\) 的一个聚点, 如果 \[ \forall \delta>0, \exists \mathbf{x} \in E \text { 使得: }0<\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{*}\right\|<\delta \text {. } \] 设 \(\mathbf{x}^{*}\) 是 \(E\) 的一个聚点。 对 \(A \in \mathbb{R}^{p}\) 和映射 \(f: E \rightarrow \mathbb{R}^{p}\)，\(\lim\limits _{x \rightarrow x^{*}} f(x)=A\) ，指: \(\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{\varepsilon}>0\) 使得: \(\forall \mathbf{x} \in E, 0<\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{*}\right\|<\delta_{\varepsilon} \Rightarrow\|f(\mathbf{x})-A\|<\varepsilon\).

注意，聚点和极限的定义都是“挖心”的。

• 在有限维空间中, 函数存在极限以及极限的值都与范数的选择无关。

• \(\mathbf{x}^{*}\) 是 \(E\) 的一个聚点当且仅当存在 \(E\) 中点列 \(\left\{\mathbf{x}_{n}\right\}\) 使得\(\mathbf{x}_{n} \neq \mathbf{x}^{*}\), 且 \(\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{x}^{*}\)

• 设 \(\mathbf{x}^{*}\) 是 \(E\) 的一个聚点, \(A \in \mathbb{R}^{p}\) 。则 \(\lim\limits _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x}^{*}} f(\mathbf{x})=A\) 当且仅当

\[ \tilde{f}(\mathbf{x})= \begin{cases}f(\mathbf{x}), & \mathbf{x} \in E \backslash\left\{\mathbf{x}^{*}\right\} \\ A, & \mathbf{x}=\mathbf{x}^{*}\end{cases} \] ​ 在 \(x^{*}\) 处连续。

• \(f\) 在 \(\mathbf{x}^{*}\) 处连续当且仅当 \(\lim\limits _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x}^{*}} f(\mathbf{x})=f\left(\mathbf{x}^{*}\right.\) 。
• 称 \(\mathbf{x}^{*}\) 为 \(f\) 的一个可去间断点, 如果 \(\lim\limits _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x}^{*}} f(\mathbf{x})\) 存在, 但 \(f\) 在 \(x^{*}\) 处不连续。
• 极限 \(\lim\limits _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x}^{*}} f(\mathbf{x})\) 是由 \(f\) 在 \(\mathbf{x}^{*}\) 周边其他 \(\mathbf{x}\) 处的取值决定的, 与 \(f\) 在 \(\mathbf{x}^{*}\) 处的值（甚至是否有定义）无关。

2.极限的运算性质

复合极限：设 \(E \subseteq \mathbb{R}^{m}, F \subseteq \mathbb{R}^{n}, f: E \rightarrow \mathbb{R}^{n}, g: F \rightarrow \mathbb{R}^{p}\) 。设 \(\mathbf{a}\) 是 \(E\) 的聚点, \(\mathbf{b}\) 是 \(F\) 的聚点, \(\lim\limits _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}} f(\mathbf{x})=\mathbf{b}\) 。若

• \(g\) 在 \(\mathbf{b}\) 处连续, \(A=g(\mathbf{b})\); 或者

• \(\lim\limits _{\mathbf{y} \rightarrow \mathbf{b}} g(\mathbf{y})=A\), 且 \(f(\mathbf{x}) \neq \mathbf{b}\) (当 \(\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}\) 时)，则 \(\lim\limits _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}} g(f(\mathbf{x}))=A\) 。

即极限的传递现在需要额外的条件，本质上是“挖心”引起的。

应用：求多元函数的极限

如果发现极限存在，通用做法是将其表示为复合函数，并说明它满足“挖心”条件，然后求其极限。

如果发现极限不存在，证明沿不同的曲线求出的极限不同即可。

需要注意，某些在一元微积分中的经验到了多元微积分并不成立。比如求 \(f(x,y)=\dfrac{x^2+y^2}{x+y}\) 在 \((x,y)\to(0,0)\) 时的极限，我们可能会认为二次项比一次项更快趋于 \(0\) ，但实际上这个极限并不存在！

3.在无穷远处的极限

设 \(E \subseteq \mathbb{R}^{m}\) 是无界子集，\(\lim\limits _{x \rightarrow \infty} f(\mathbf{x})=A\) ，指 \(\forall \varepsilon>0, \exists M_{\varepsilon}>0\) 使得: \(\forall \mathbf{x} \in E,\|\mathbf{x}\|>M_{\varepsilon} \Rightarrow\|f(\mathbf{x})-A\|<\varepsilon\).

除了这种范数趋近无穷的方式，还有其他趋于无穷的方法，如\(\lim\limits _{x \rightarrow a, y \rightarrow-\infty} f(x, y)\) 。

对这种极限，由于 \(\lim\limits _{x \rightarrow a, y \rightarrow-\infty} f(x, y)=\lim\limits _{x \rightarrow a, u \rightarrow 0^-} f(x,g(u))\) ，其中 \(u=\dfrac{1}{y}\) ，可以转化为常规的极限问题。（这种处理方式可以推广为“极球”模式）

为了统一各种极限, 我们可以引入 “邻域” 和 “去心邻域” 的概念, 从而 \(\lim\limits _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}} f(\mathbf{x})=A\) 的意义是: 对 \(A\) 的任何邻域 \(V\), 存在 \(\mathbf{a}\) 的去心邻域 \(U\) 使得对任意 \(\mathbf{x} \in U\), \(f(\mathbf{x}) \in V\) 。

4.累次极限

对多元函数的不同自变量依次逐个取极限得到形如 \[ \lim _{x \rightarrow a} \lim _{y \rightarrow b} f(x, y) \] 的极限, 叫累次极限。对具有 \(m\) 个自变量的函数, 不同顺序的累次极限有 \(m !\) 种。 累次极限的值是否与取极限的先后顺序有关？这是一个重要的问题。

我们发现有 \(f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) 这类存在累次级限但不存在二重极限的函数，也有\(E=\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}|\dfrac{|x|}{2} \leq| y|\leq 2| x |\}, f: E \rightarrow \mathbb{R},f(x, y)=1\) 这类不存在累次级限但存在二重极限的函数。事实上，有

定理：如果 \(\lim\limits _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)\) 和累次极限 \(\lim\limits _{y \rightarrow b} \lim\limits _{x \rightarrow a} f(x, y)\) 都存在, 则二者的值相等。

证明

推论：如果 \(\lim\limits _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)\) 和累次极限 \(\lim\limits _{y \rightarrow b} \lim\limits _{x \rightarrow a} f(x, y)\) 和 \(\lim\limits _{x \rightarrow a} \lim\limits _{y \rightarrow b} f(x, y)\) 都存在，则三者的值相等，从而 \[ \lim _{y \rightarrow b} \lim _{x \rightarrow a} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow a} \lim _{y \rightarrow b} f(x, y) \]

5.无穷小函数的阶

大 \(O\) 和小 \(o\) 的定义几乎与一元微积分相同，同样是用范数定义的。这里重写一遍：

称当 \(\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}\) 时, \(f=O(g)\), 如果存在 \(\mathbf{a}\) 的去心邻域 \(U\) 和常数 \(M>0\), 使得对任意 \(\mathrm{x} \in U\), 都有 \(\|f(\mathrm{x})\| \leq M\|g(\mathrm{x})\|\) 。

称当 \(\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}\) 时, \(f=o(g)\), 如果对任意 \(\varepsilon>0\), 存在 \(\mathbf{a}\) 的去心邻域 \(U_{\varepsilon}\), 使得对任意 \(\mathbf{x} \in U_{\varepsilon}\), 都有 \(\|f(\mathbf{x})\| \leq \varepsilon\|g(\mathbf{x})\|\) 。

称当 \(\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}\) 时, \(f, g\) 是同阶的, 如果 \(f=O(g)\) 且 \(g=O(f)\) 。

称当 \(\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}\) 时, \(f, g\) 是等价的, 如果 \(g=f+o(f)\) 。

同样的，这里的定义与范数选取无关。事实上，根据范数的性质，\(\mathbb R^m\) 上所有范数都是同阶的。

尽管定义看上去差不多，多维空间中阶的概念远比一维情况要复杂。比如，不难证明: 当 \((x, y) \rightarrow(0,0)\) 时，\(a x+b y\) 与 \(c x+d y\) 是同阶无穷小，当且仅当 \(a=b=c=d=0\) 或者 \((a, b)\) 与 \((c, d)\) 是两个线性相关的非零向量。

可以看到，即使是最简单的多项式，它们作为无穷小量的阶数也不能简单地由其次数决定。

例：对于对称矩阵 \(A\), 二次型 \(\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}\) 与 \(\|\mathbf{x}\|^{2}\) 同阶, 当且仅当 \(A\) 是正定矩阵或者负定矩阵。证明

另外，在多维情况下，同阶无穷小的比值极限不一定存在了。比如，当 \((x, y) \rightarrow(0,0)\) 时, \(\sqrt{2 x^{2}+y^{2}}\) 和 \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) 是同阶无穷小: \[ \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq \sqrt{2 x^{2}+y^{2}} \leq \sqrt{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} . \] 但极限 \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{2 x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \] 不存在。

证明区

证明2.4

该命题可以表述成：极限 \(H(y)=\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x, y)\) 对任意 \(y \neq b\) 存在； 极限 \(G(x)=\lim\limits _{y \rightarrow b} f(x, y)\) 对任意 \(x\) 存在，且存在 \(\delta_{0}>0\) 使得：对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta_{2}(\varepsilon)>0\) 使得对任意 \(0<|y-b|<\delta_{2}(\varepsilon)\) 以及任意 \(0<|x-a|<\delta_{0}\) 都有 \(|f(x, y)-G(x)|<\varepsilon\)；

则\(\lim\limits _{x \rightarrow a, y \rightarrow b} f(x, y)=\lim\limits _{y \rightarrow b} \lim\limits _{x \rightarrow a} f(x, y)=\lim\limits _{x \rightarrow a} \lim \limits_{y \rightarrow b} f(x, y)\) （这些极限都存在）

证明：设 \(\lim\limits _{x \rightarrow a, y \rightarrow b} f(x, y)=A\) ，\(\lim\limits _{x \rightarrow a} \lim \limits_{y \rightarrow b} f(x, y)=B\) 。根据条件有：

存在 \(\delta=\min\{\delta_0,\delta_2(\varepsilon)\}>0\) 使得对任意 \(\varepsilon>0\) ，任意 \(0<||(x,y)-(a,b)||<\delta\) 都有 \(|f(x,y)-B|<\varepsilon\) 。同时存在 \(\delta^{'}>0\) 使得对任意 \(\varepsilon>0\) ，任意 \(0<||(x,y)-(a,b)||<\delta^{'}\) 都有 \(|f(x,y)-A|<\varepsilon\) 。

若 \(A\neq B\) ，令 \(\varepsilon<\dfrac{|A-B|}{2}\) 就会使两个式子出现矛盾，因此只能 \(A=B\) 。

同理，对称性使得这三个极限都相等。返回

证明2.5

对对称正定矩阵 \(A, \mathbf{x}^{T} A \mathbf{y}\) 是一个内积（对称：对称矩阵；正定：正定的定义之一；双线性：显然满足），从而 \(\sqrt{\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}}\) 是相应的范数，从而与 \(\|\mathbf{x}\|\) 同阶。所以 \(\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}\) 与 \(\|\mathbf{x}\|^{2}\) 同阶。

对于负定矩阵，同理有 \(-\mathbf{x}^{T} A \mathbf{y}\) 是一个内积，从而也能说明 \(\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}\) 与 \(\|\mathbf{x}\|^{2}\) 同阶。返回