多元微积分作业（二）

本文最后更新于：2022年3月14日晚上

微积分A2作业（二）

未央-能动12 罗诗棋 2021012525 王晓峰老师

1.3.5

(连续性与偏连续性) 设 $f:[a, b] \times[c, d] \rightarrow \mathbb{R}$ 。 (a) 如果 $f$ 是连续函数，那么是否成立：对任意 $y \in[c, d], f(\cdot, y)$ : $[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 连续；对任意 $x \in[a, b], \quad f(x, \cdot):[c, d] \rightarrow \mathbb{R}$ 连续? (b) 如果对任意 $y \in[c, d], \quad f(\cdot, y):[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 连续；对任意 $x \in[a, b]$, $f(x, \cdot):[c, d] \rightarrow \mathbb{R}$ 连续，那么 $f$ 是否为连续函数？考虑 \[ f(x, y)= \begin{cases}\dfrac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & x y \neq 0 \\ 0, & x y=0 .\end{cases} \] (c) 设 $x_{0} \in[a, b], y_{0} \in[c, d], f$ 满足： $f\left(\cdot, y_{0}\right):[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 连续；并且对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta(\varepsilon)>0$ 使得对任意 $x \in[a, b]$ 以及任意 $y \in[c, d]$ ，只要 $\left|y-y_{0}\right|<\delta(\varepsilon)$, 就有 $\left|f(x, y)-f(x, y_{0})\right|<\varepsilon$ 。证明 $f$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。 (d) 设 $f(x, y)$ 分别对每个变量 $x$ 和 $y$ 是连续的，且对 $y$ 是单调不减的，证明 $f$ 关于 $(x, y)$ 是连续的。

解：

因 $f$ 是连续函数，对 $(x_0,y_0)\in[a, b] \times[c, d]$ 和 $\forall \varepsilon>0$ ，$\exists \delta>0$ 使 $\forall ||(x,y)-(x_0,y_0)||<\delta$ ，都有 $|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon$ 。令 $|x-x_0|<\delta,y=y_0$ ，有 $||(x,y)-(x_0,y_0)||\leq||(x,y)-(x_0,y_0)||_{\infty}<\delta$ ，因此 $|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon$

故 $ f(, y):[a, b] $ 在 $[a,b]$ 是连续的。同理 $f(x, \cdot):[c, d] \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $[c,d]$ 也是连续的。

对示例函数，若 $x=0$ 或 $y=0$ ，函数值恒为 $0$ ，连续；若 $x\neq0$ 或 $y\neq0$ ，由于 $\lim\limits_{x\to0,y\neq0}{\dfrac{x y}{x^{2}+y^{2}}}=\lim\limits_{y\to0,x\neq0}{\dfrac{x y}{x^{2}+y^{2}}}=0$ ，也连续。

但对二元函数 $f$ ，若沿 $y=kx$ 直线逼近，则 $\lim\limits_{y=x,x\to0}{\dfrac{x y}{x^{2}+y^{2}}}=\dfrac{k}{1+k^2}\neq0,k\neq0$ 。因此若 $(0,0)\in[a, b] \times[c, d]$ ，$f$ 在 $(0,0)$ 处不连续。因此两个命题之间不能推断。

因 $f\left(\cdot, y_{0}\right):[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 连续，对 $(x_0,y_0)\in[a, b] \times[c, d]$ 和 $\forall \varepsilon>0$ ，$\exists \delta>0$ 使 $\forall |x-x_0|<\delta-\delta(\dfrac{\varepsilon}{2})$ ，都有 $|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\dfrac{\varepsilon}{2}$ 。因此 $\exists\delta>0$ 使 $\forall ||(x,y)-(x_0,y_0)||\leq||(x,y)-(x_0,y_0)||_{\infty}<\delta$ ，都有 $\left|f(x, y)-f(x_0, y_{0})\right|\leq\left|f(x, y)-f(x, y_{0})\right|+|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon$ 。

故 $f$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。

对 $\forall (x_0,y_0)\in[a, b] \times[c, d]$ 和 $\forall \varepsilon>0$ ，由 $f(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的连续性可以知道， \[ \begin{gathered} \left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|<\varepsilon / 2\text{ \quad for\quad}\left|x-x_{0}\right| \leq\delta\\ \left|f\left(x_{0}+\delta, y\right)-f\left(x_{0}+\delta, y_{0}\right)\right|<\varepsilon / 2\text{ \quad for\quad}\left|y-y_{0}\right| \leq \eta_{1}\\ \left|f\left(x_{0}-\delta, y\right)-f\left(x_{0}-\delta, y_{0}\right)\right|<\varepsilon / 2\text{ \quad for\quad}\left|y-y_{0}\right| \leq \eta_{2} \end{gathered} \] 其中 $\delta,\eta_1,\eta_2>0$ 。若取 $\eta=\min(\eta_1,\eta_2)$ ，则对 $\forall(x,y)\in[x_0-\delta,x_0+\delta]\times[y_0-\eta,y_0+\eta]$ ，均有 \[ \begin{aligned} &\quad \, \, {\left[f\left(x_{0}-\delta, y\right)-f\left(x_{0}-\delta, y_{0}\right)\right]+\left[f\left(x_{0}-\delta, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right] } \\ & \leq f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right) \\ & \leq\left[f\left(x_{0}+\delta, y\right)-f\left(x_{0}+\delta, y_{0}\right)\right]+\left[f\left(x_{0}+\delta, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right] \end{aligned} \] 也就是 $-\varepsilon<f(x,y)-f(x_0,y_0)<\varepsilon$ 。因此 $f$ 关于 $(x,y)$ 连续。

1.4.7

设 $U \subseteq \mathbb{R}^{2}$ 是开集， $(a, b) \in U, f$ 在 $U \backslash\{(a, b)\}$ 上有定义, 且满足极限 \[ A=\lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y), \quad B=\lim _{y \rightarrow b} \lim _{x \rightarrow a} f(x, y) \] 都存在。证明 $A=B$ 。由此知道, 如果 \[ \lim _{y \rightarrow b} \lim _{x \rightarrow a} f(x, y) \neq \lim _{x \rightarrow a} \lim _{y \rightarrow b} f(x, y) \] 则极限 $\lim\limits _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)$ 不存在。

证明：极限都存在，因此对 $\forall (x,y)\in U \backslash\{(a, b)\},\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0$ ，使对 $\forall0<||(x,y)-(a,b)||<\delta,|f(x,y)-A|<\varepsilon$ ，以及 $\exists \eta_2>0$ 使对 $\forall\varepsilon>0,\exists \eta_1>0$ $\forall 0<|x-a|<\eta_1,\forall0<|y-b|<\eta_2,|f(x,y)-B|<\varepsilon$ 。

那么对 $\forall 0<||(x,y)-(a,b)||<\min(\delta,\eta_1,\eta_2)$ ，则同时有 $|f(x,y)-A|<\varepsilon,|f(x,y)-B|<\varepsilon$ 。若 $A\neq B$，只要 $\varepsilon<\dfrac{|A-B|}{2}$ 就会矛盾。因此 $A=B$ 。

1.4.8

设 (a) 极限 $H(y)=\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x, y)$ 对任意 $y \neq b$ 存在；(b) 极限 $G(x)=\lim\limits _{y \rightarrow b} f(x, y)$ 对任意 $x$ 存在, 且存在 $\delta_{0}>0$ 使得：对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta_{2}(\varepsilon)>0$ 使得对任意 $0<|y-b|<\delta_{2}(\varepsilon)$ 以及任意 $0<|x-a|<\delta_{0}$ 都有 $|f(x, y)-G(x)|<\varepsilon$ ; 则极限 $\lim\limits _{x \rightarrow a} \lim\limits _{y \rightarrow b} f(x, y), \lim\limits _{y \rightarrow b} \lim\limits _{x \rightarrow a} f(x, y)$ 和 $\lim\limits _{x \rightarrow a, y \rightarrow b} f(x, y)$ 都存在, 且 \[ \lim _{x \rightarrow a, y \rightarrow b} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow b} \lim _{x \rightarrow a} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow a} \lim _{y \rightarrow b} f(x, y) . \]

证明：(1) 证明三个极限存在。

因极限 $H(y)=\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x, y)$ 对任意 $y \neq b$ 存在，因此对任意 $y \neq b$ 和任意 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta_{1}(\dfrac{\varepsilon}{4})>0$ 使得对任意 $0<|x-a|<\delta_{1}(\dfrac{\varepsilon}{4})$ 都有 $|f(x, y)-H(y)|<\dfrac{\varepsilon}{4}$ 。因此，对任意 $0<|x_{1,2}-a|<\min(\delta_{0},\delta_1(\dfrac{\varepsilon}{4}))$ 以及任意 $0<|y-b|<\delta_{2}(\dfrac{\varepsilon}{4})$ 均有 $|f(x_1,y)-f(x_2,y)|<|f(x_1, y)-H(y)|+|f(x_2, y)-H(y)|<\dfrac{\varepsilon}{2}$ 。

由题意知，存在 $\delta_{0}>0$ 使得：对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta_{2}(\varepsilon)>0$ 使得对任意 $0<|y-b|<\delta_{2}(\dfrac{\varepsilon}{4})$ 以及任意 $0<|x_{1,2}-a|<\delta_{0}$ ，有 $|G(x_1)-G(x_2)|\leq|f(x_1, y)-G(x_1)|+|f(x_2, y)-G(x_2)|+|f(x_1,y)-f(x_2,y)|<\varepsilon$ ，由 Cauchy 收敛定则，$G(x)$ 在此处一定收敛于一个值 $A$ ，因此 $\lim\limits _{x \rightarrow a} \lim\limits _{y \rightarrow b} f(x, y)=A$ 。

同理，对任意 $\varepsilon>0$，任意 $0<|x-a|<\min(\delta_{0},\delta_1(\dfrac{\varepsilon}{4}))$ 以及任意 $0<|y-b|<\delta_{2}(\dfrac{\varepsilon}{4})$ ，$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|<|f(x, y_2)-G(x)|+|f(x, y_1)-G(x)|<\dfrac{\varepsilon}{2}$ ，有 $|H(y_1)-H(y_2)|\leq|f(x,y_1)-H(y_1)|+|f(x,y_2)-H(y_2)|+|f(x,y_1)-f(x,y_2)|<\varepsilon$ ，由 Cauchy 收敛定则，$H(y)$ 在此处一定收敛于一个值 $B$ ，因此 $\lim\limits _{y \rightarrow b} \lim\limits _{x \rightarrow a} f(x, y)=B$ 。

对任意 $\varepsilon>0$，任意 $0<|x-a|<\min(\delta_{0},\delta_1(\dfrac{\varepsilon}{4}))$ 以及任意 $0<|y-b|<\delta_{2}(\dfrac{\varepsilon}{4})$ ，即 $||(x,y)-(a.b)||<\min[\delta_{0},\delta_1(\dfrac{\varepsilon}{4}),\delta_{2}(\dfrac{\varepsilon}{4})]$ ，有$|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|\leq|f(x_1,y_1)-f(x_1,y_2)|+|f(x_1,y_2)-f(x_2,y_2)|<\varepsilon$ ，由 Cauchy 收敛定则，$f(x, y)$ 在此处一定收敛于一个值 $C$ ，因此 $\lim\limits _{x \rightarrow a, y \rightarrow b} f(x, y)=C$ 。

证明它们相等。

1.4.7中已有证明加上对称性即可证明三者相等。

1.4.9

设 \[ f(x, y)= \begin{cases}x \sin \frac{1}{y}, & y \neq 0 \\ 0, & y=0\end{cases} \] 讨论极限 $\lim\limits _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y), \quad \lim\limits _{y \rightarrow 0} \lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ 以及 $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \lim \limits_{y \rightarrow 0} f(x, y)$ 。

解：有 \[ \lim_{y\to0}f(x,y)\left\{\begin{array}{cc} &不存在&,x\neq0\\ &=0&,x=0 \end{array}\right. \quad ,\lim_{x\to0}f(x,y)=0 \] 因此 $\lim\limits _{y \rightarrow 0} \lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x, y)=0$ ，$\lim\limits _{x \rightarrow 0} \lim \limits_{y \rightarrow 0} f(x, y)$ 不存在。

对 $\forall \varepsilon>0$ ，只要 $||(x,y)||<\delta(\varepsilon)=\varepsilon$ ，就有 $|f(x,y)|\leq|x|\leq||(x,y)||<\varepsilon$ ，因此 $\lim\limits _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$ 。

1.5.1

判断以下极限的存在性；若存在，求出极限值。

解：（1） \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} \] 设 $r=x^2+y^2$ ，显然 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}{x^2+y^2}=0$ 。又因当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $x^2+y^2\neq0$ ，且 $\lim \limits_{r\to0} \dfrac{\arcsin \left(r\right)}{r}=1$ ，故 $\lim\limits _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \dfrac{\arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=1$

（2） \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{e}^{x-y} \] 因 $\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{e}^{x-y}$ 在 $(0,0)$ 处是连续的，$\lim\limits _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{e}^{x-y}=0$ 。

（3） \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x+y}{|x|+|y|} \] 沿射线 $y=x,x>0$ 逼近，$\lim\limits_{x\to0^+,y=x}{\dfrac{x+y}{|x|+|y|}}=1$ 。沿射线 $y=-x,x>0$ 逼近，$\lim\limits_{x\to0^+,y=-x}{\dfrac{x+y}{|x|+|y|}}=0\neq1$ 。因此极限不存在。

（4） \[ \lim _{(x, y) \rightarrow \infty} \frac{x+y}{x^{2}+x y+y^{2}} \] $(x,y)\to+\infty$ 意味着 $\forall N>0$ 都有 $r:=x^2+y^2>N$ 。有 $|x+y|\leq|x|+|y|\leq2\sqrt{r}$ ，$|xy|\leq|x||y|=\dfrac{1}{2}\sqrt{(|x|+|y|)^2-r}\leq\dfrac{\sqrt{3}}{2}r$ ，故 \[ |\frac{x+y}{x^{2}+x y+y^{2}}|=\frac{|x+y|}{|x^{2}+x y+y^{2}|}\leq\frac{2\sqrt{r}}{|x^2+y^2|-|xy|}\leq(8+4\sqrt{3})\frac{1}{\sqrt{N}} \] 令 $N\to\infty$ ，即可得 $\lim\limits _{(x, y) \rightarrow \infty} \dfrac{x+y}{x^{2}+x y+y^{2}}=0$

（5） \[ \lim _{(x, y) \rightarrow \infty}\left(\frac{|x y|}{x^{2}+x y+y^{2}}\right)^{x^{2}} \]

沿曲线 $y=x\mathrm{e}^{\frac{k}{x^2}},x\to0^+$ 逼近（其中 $k>0$ ），有 $\dfrac{x}{y}=\mathrm{e}^{-\frac{k}{x^2}}<1$ ，因此 \[ \lim\limits_{x\to0^+}\left(\frac{|x y|}{x^{2}+x y+y^{2}}\right)^{x^{2}}=\lim\limits_{x\to0^+}\left(\frac{\mathrm{e}^{-\frac{k}{x^2}}}{1+\mathrm{e}^{-\frac{k}{x^2}}+\mathrm{e}^{-\frac{2k}{x^2}}}\right)^{x^2}=\mathrm{e}^{-k} \]

$k$ 取不同的值时函数趋近值不同，因此极限不存在。

1.5.5

设 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{m}$ 是一个非空集合。 (a) 证明函数 $f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}, f(\mathbf{x})=\inf \limits_{\mathbf{y} \in \Omega}\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\|$，是一个连续函数。 (b) 若 $\Omega$ 是闭集，证明对任意 $\mathbf{x}$，存在 $\mathbf{y}^{*} \in \Omega$ 使得 $f(\mathbf{x})=\left\|\mathbf{y}^{*}-\mathbf{x}\right\|$ ，并且 $\mathbf{y}^{*} \in \partial \Omega$ （即 $\mathbf{y}^{*}$ 的任意邻域中都有不属于 $\Omega$ 的点）。 (c) 若 $\Omega_{1}, \Omega_{2}$ 是闭集且其中至少一个有界，证明存在 $\mathbf{x}_{k}^{*} \in \Omega_{k}$ 使得 \[ \left\|\mathbf{x}_{1}^{*}-\mathbf{x}_{2}^{*}\right\|=\inf _{\mathbf{x}_{1} \in \Omega_{1}, \mathbf{x}_{2} \in \Omega_{2}}\left\|\mathbf{x}_{1}-\mathbf{x}_{2}\right\| \] (d) 举例说明上述 “闭”、“有界”的条件是不能或缺的。

（ $\inf$ 是下确界函数）

解：（1）取 $\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^m,\forall \mathbf{p}\in \Omega$ ，由范数的三角形不等式：$||\mathbf{y}-\mathbf{x}||\geq||\mathbf{x}-\mathbf{p}||-||\mathbf{y}-\mathbf{p}||$ ，可知 $f(\mathbf{x})=\inf \limits_{\mathbf{p} \in \Omega}\|\mathbf{p}-\mathbf{x}\|\leq||\mathbf{y}-\mathbf{x}||+||\mathbf{y}-\mathbf{p}||$ ，进而 $||\mathbf{y}-\mathbf{p}||\geq f(\mathbf{x})-||\mathbf{y}-\mathbf{x}||$ 对 $\forall \mathbf p\in\Omega$ 成立，因此 $f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})\leq||\mathbf{y}-\mathbf{x}||$ 。同理 $f(\mathbf{y})-f(\mathbf{x})\leq||\mathbf{y}-\mathbf{x}||$ 。

对 $\forall \varepsilon>0$ ，$\forall\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in\mathbb{R}^m$ ，只要 $||\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2||<\varepsilon$ ，则 $|f(\mathbf{x}_1)-f(\mathbf{x}_2)|\leq||\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2||<\varepsilon$ ，因此 $f(\mathbf{x})$ 连续。

（2）对 $\forall r>f(\mathbf{x})$ ，显然有 $\inf \limits_{\mathbf{y} \in \Omega}\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\|=\inf \limits_{\mathbf{y} \in \Omega\cap B(\mathbf{x},r)}\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\|$ ，其中 $B(0,r)=\{\mathbf{z}\in\mathbb{R}^m|||\mathbf{z}-\mathbf{x}||\leq r\}$ ，显然也是闭集（这是第一次作业第一题），因此 $\Omega\cap B(0,r)$ 是有界闭集。又因 $g(\mathbf{y})=||\mathbf{y}-\mathbf{x}||$ 连续，则 $g(\mathbf{y}),\mathbf{y}\in\Omega\cap B(0,r)$ 也是一个有界闭集，因此有最小值 $||\mathbf{y}_0-\mathbf{x}||$ 。由下确界定义，此最小值就是 $\inf \limits_{\mathbf{y} \in \Omega\cap B(\mathbf{x},r)}\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\|=\inf \limits_{\mathbf{y} \in \Omega}\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\|$ 。因此 \[ \inf \limits_{\mathbf{y} \in \Omega}\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\|=||\mathbf{y}_0-\mathbf{x}||,\quad \mathbf{y}_0\in\Omega\cap B(0,r) \] 对 $\forall\varepsilon>0$ ，有 $\mathbf{z}=\mathbf{y}_0-\dfrac{\varepsilon}{2}\dfrac{\mathbf{y}_0-\mathbf{x}}{||\mathbf{y}_0-\mathbf{x}||}$ ， $||\mathbf{y}_0-\mathbf{z}||=\dfrac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$ ，但 $||\mathbf{z}-\mathbf{x}||=f(\mathbf{x})(1-\dfrac{\varepsilon}{2})<f(\mathbf{x})$ ，因此 $\mathbf{z}\notin\Omega$ 。所以 $\mathbf{y}_0\in\partial\Omega$ 。

（3）不妨设 $\Omega_1$ 是有界闭集。对 $\forall\mathbf{x}\in\Omega_2 \ ,\ \exists\mathbf{y}_0\in\Omega_1\ ,\ f(\mathbf{x}):=\inf\limits_{\mathbf{y}\in\Omega_1}{||\mathbf{y}-\mathbf{x}||}=||\mathbf{y}_0-\mathbf{x}||$ 。对 $\forall n\in\Z^+$ 存在 $\mathbf{x}_n\in\Omega_2$ ，使其中存在收敛子列 $\{\mathbf{x}_{n_k}\}$ 使 $\lim\limits_{k\to+\infty}{||f(\mathbf{x}_{n_k})||}=\inf\limits_{\mathbf{x}\in\Omega_2}{f(\mathbf{x})}$ ，因 $f$ 为连续映射且 $\Omega_2$ 是闭集，存在 $\mathbf{x}_0\in\Omega_2$ 使 $f(\mathbf{x}_0)=\inf\limits_{\mathbf{x}\in\Omega_2}{f(\mathbf{x})}$ 。因此存在 $\mathbf{x}_{k}^{*} \in \Omega_{k}$ 使得 \[ \left\|\mathbf{x}_{1}^{*}-\mathbf{x}_{2}^{*}\right\|=\inf _{\mathbf{x}_{1} \in \Omega_{1}, \mathbf{x}_{2} \in \Omega_{2}}\left\|\mathbf{x}_{1}-\mathbf{x}_{2}\right\| \] （4）没有“闭”限制：

$\Omega_1=(-1,0),\Omega_2=(0,1)$ ，显然不存在 $x_k\in\Omega_k,|x_1-x_2|=\inf\limits_{x_1\in\Omega_1,x_2\in\Omega_2}{|x_1-x_2|}=0$ 。

没有“有界”限制：

$\Omega_1=\{(x,y)\in\R^2|y\geq\dfrac{1}{x},x>0\},\Omega_2=\{(x,y)\in\R^2|y\leq-\dfrac{1}{x},x>0\}$ 。显然不存在 $(x_k,y_k)\in\Omega_k,||(x_1,y_1)-(x_2,y_2)||=\inf\limits_{x_1\in\Omega_1,x_2\in\Omega_2}{||(x_1,y_1)-(x_2,y_2)||}=0$ 。

Work > math homework

#math #calculus #homework

多元微积分笔记（五）极值、临界点与函数凹凸性上一篇

souls passed by 下一篇