多元微积分笔记（五）极值、临界点与函数凹凸性

第五讲 极值、临界点与函数凹凸性

1.临界点及其分类，二阶微分，Hesse 矩阵

对 $$ 函数 $$, 其二阶微分 $$ 是一个对称双线性型, 矩阵 $$ 是一个对称 的 $$ 阶方阵，称为 $$ 在 $$ 处的 Hesse 矩阵。 于是二阶 Taylor 展开可以写成 $$ 称 $$ 是 $$ 的一个临界点, 如果 $$ 。 称 $$ 函数 $$ 的临界点 $$ 是非退化的, 如果 Hesse 矩阵 $$ 可逆。 称 $$ 的临界点 $$ 是鞍形的, 如果 $$ 是非退化临界点, 并且 Hesse 矩阵 $$ 既有正特征值又有负特征值。

定理：设 $$ 是 $$ 函数 $$ 的一个非退化临界点。则 1. 若 Hesse 矩阵 $$ 正定, 则 $$ 是一个极小值点； 2. 若 Hesse 矩阵 $$ 负定, 则 $$ 是一个极大值点； 3. 若 Hesse 矩阵 $$ 既不是正定又不是负定, 则 $$ 是鞍形临界点，鞍形临界点不是极值点。它在某些方向为极小，在另外一些方向为极大。

1. 设 $$ 正定。则 $$ 的所有顺序主子式都为正。由 $$ 以及行列式的连续性，在 $$ 附近，$$ 的所有顺序主子式也都是正的，所以 $$ 正定的，从而由 Taylor 公式知 $$ 所以 $$ 是严格极小值点。
2. 类似可证当 $$ 负定时，$$ 是严格极大值点。

关于极值点：其邻域内的点必须有定义且全部大于/小于该点函数值，也就是说极值点一定是内点。从这个意义上说，我们可以说可导函数的极值点必然是临界点。