多元微积分笔记(五)极值、临界点与函数凹凸性

本文最后更新于:2022年3月30日 下午

第五讲 极值、临界点与函数凹凸性

1.临界点及其分类,二阶微分,Hesse 矩阵

函数 , 其二阶微分 是一个对称双线性型, 矩阵 是一个对称 的 阶方阵,称为 处的 Hesse 矩阵。 于是二阶 Taylor 展开可以写成 的一个临界点, 如果 。 称 函数 的临界点 非退化的, 如果 Hesse 矩阵 可逆。 称 的临界点 鞍形的, 如果 是非退化临界点, 并且 Hesse 矩阵 既有正特征值又有负特征值。

定理:设 函数 的一个非退化临界点。则 1. 若 Hesse 矩阵 正定, 则 是一个极小值点; 2. 若 Hesse 矩阵 负定, 则 是一个极大值点; 3. 若 Hesse 矩阵 既不是正定又不是负定, 则 是鞍形临界点,鞍形临界点不是极值点。它在某些方向为极小,在另外一些方向为极大。

  1. 正定。则 的所有顺序主子式都为正。由 以及行列式的连续性,在 附近, 的所有顺序主子式也都是正的,所以 正定的,从而由 Taylor 公式知 所以 是严格极小值点。
  2. 类似可证当 负定时, 是严格极大值点。

关于极值点:其邻域内的点必须有定义且全部大于/小于该点函数值,也就是说极值点一定是内点。从这个意义上说,我们可以说可导函数的极值点必然是临界点。