多元微积分笔记（六） 隐函数与逆映射

第六章 隐函数与逆映射

（隐函数定理）设 \(F: W \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) 在开集 \(W \subseteq \mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{n}\) 内是 \(C^{k}\) 可微映射, \(\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right) \in W\) 满足 \(F\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)=0\) 且 \(\partial_{\mathbf{y} } F\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\) 可逆。则存在 \(\mathbf{x}_{0}\) 的邻域 \(U \subset \mathbb{R}^{m}\) 和 \(\mathbf{y}_{0}\) 的邻域 \(V\) 以及 \(C^{k}\) 映射 \(f: U \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) 使得: (1) 对任意 \(\mathbf{x} \in U, F(\mathbf{x}, f(\mathbf{x}))=0\), 并且 (2) 若 \((\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in U \times V\) 满足 \(F(\mathbf{x}, \mathbf{y})=0\), 则 \(\mathbf{y}=f(\mathbf{x})\) 。

事实上，由 Taylor 展开可以得到 \(F\) 在 \((\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0)\) 附近的线性近似： \[ \mathbf{y}=\mathbf{y}_{0}-\left(\partial_{\mathbf{y}} F\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right)^{-1} \partial_{\mathbf{x}} F\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right)+\text { h.o.t. } \] 实际上这个公式不是最重要的，主要是它揭示了隐函数为什么存在，为什么可以用线性来近似。一般遇到隐函数的展开问题都通过换元近似解方程组的方法获取其一阶展开，而不是通过求导算矩阵。例题

Newton 迭代： \[ \mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_{n}-\left(\partial_{\mathbf{y}} F\left(\mathbf{x}, \mathbf{y}_{n}\right)\right)^{-1} F\left(\mathbf{x}, \mathbf{y}_{n}\right) \] 可以证明这个迭代是压缩映射的。

（逆映射定理）设 \(U \subseteq \mathbb{R}^{m}\) 是开集, \(F: U \rightarrow \mathbb{R}^{m}\) 是 \(\mathscr{C}^{r}\) 映射, 满足 \(\mathrm{D} F\left(\mathbf{x}^{*}\right)\) 可逆。则存在 \(\mathbf{y}^{*}=F\left(\mathbf{x}^{*}\right)\) 的邻域 \(V\) 以及 \(\mathbf{x}^{*}\) 的邻域 \(W\) 以及 \(\mathscr{C}^{r}\) 映 射 \(g: V \rightarrow W\), 使得: 对任意 \(\mathbf{y} \in V\) 和任意 \(\mathbf{x} \in W, F(\mathbf{x})=\mathbf{y}\) 当且仅当 \(\mathbf{x}=g(\mathbf{y})\) 。称 \(f: U \rightarrow V\) 是一个 \(C^{k}\) 微分同胚，如果 \(f\) 是 \(C^{k}\) 映射, 并且存在 \(C^{k}\) 的逆映射 \(g: V \rightarrow U\), 即 \[ g(f(\mathbf{x}))=\mathbf{x}, \quad f(g(\mathbf{y}))=\mathbf{y}, \quad \forall \mathbf{x} \in U, \mathbf{y} \in V . \]

第七章 曲线与曲面

1.由方程组确定的曲线

在高维空间 \(\mathbb{R}^{m}\) 中, 考虑由 \(m-1\) 个方程组成的方程组 \[ \left\{\begin{array}{l} F^{1}\left(x^{1}, \ldots, x^{m}\right)=0 \\ \vdots \\ F^{m-1}\left(x^{1}, \ldots, x^{m}\right)=0 \end{array}\right. \] 如果

1. \(F^{1}, \ldots, F^{m-1}\) 都是 \(\mathscr{C}^{r}\) 函数，并且

2. 在上述方程组的一个解 \(x_{0}=\left(x_{0}^{1}, \ldots, x_{0}^{m}\right)\) 处，Jacobi 矩阵 \(\left(\partial_{j} F^{i}\left(\mathbf{x}_{0}\right)\right)_{(m-1) \times m}\) 满 (行) 秩, 即秩为 \(m-1\)，

比如说最后 \(m-1\) 列线性无关, 则根据隐函数定理, 在 \(\mathbf{x}_{0}=\left(x_{0}^{1}, \ldots, x_{0}^{m}\right)\) 的一个邻域 \(W\) 中, 上述方程组的解全部位于一个 \(\mathscr{C}^{r}\) 隐函数 \(\left(x^{2}, \ldots, x^{m}\right)=g\left(x^{1}\right)\) 的图像上。

于是我们可以考虑参数方程组 \[ \left\{\begin{array}{l} x^{1}=x^{1}(t) \\ \vdots \\ x^{m}=x^{m}(t) \end{array}\right. \] 如果 \(x^{i}\) 都是 \(\mathscr{C}^{r}(r \geq 1)\) 函数，并且 \(\left(x^{1}\right)^{\prime}\left(t_{0}\right) \neq 0\), 则根据逆映射定理，在 \(t_{0}\) 和 \(x^{1}\left(t_{0}\right)\) 咐近, 存在 \(\mathscr{C}^{r}\) 反函数 \(t=t\left(x^{1}\right)\) ，于是 \[ \left\{\begin{array}{l} x^{1}=x^{1}(t)=x^{1} \\ x^{2}=x^{2}\left(t\left(x^{1}\right)\right)=g^{2}\left(x^{1}\right) \\ \vdots \\ x^{m}=x^{m}\left(t\left(x^{1}\right)\right)=g^{m}\left(x^{1}\right) \end{array}\right. \] 位于一元 \(\mathscr{C}^{r}\) 映射 \(g=\left(g^{2}, \ldots, g^{m}\right)\) 的图像上。

什么是微积分研究的曲线和曲面？

称 \(\Sigma\) 是 \(\mathbb{R}^{m}\) 中一个 \(\mathscr{C}^{r}\) 的 \(k\) 维曲面, 如果对任意 \(P_{0} \in \Sigma\), 存在 \(P_{0}\) 在 \(\mathbb{R}^{m}\) 中的一个开邻域 \(W\) 以及 \(1,2, \ldots, m\) 的一个排列 \(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m}\) 和一个 \(\mathscr{C}^{r}\) 映射 \(g\), 使得对任意 \(\mathbf{x} \in W, \mathbf{x} \in \Sigma\) 当且 仅当 \(\left(x^{i_{k+1} }, \ldots, x^{i_{m} }\right)=g\left(x^{i_{1} }, \ldots, x^{i_{k} }\right)\) 。曲线是1维曲面

即局部看, \(\Sigma\) 是 \(\mathscr{C}^{r}\) 的 \(k\) 元映射的图像。

曲面 \(\Sigma\) 上一条 \(\mathscr{C}^{r}\) 道路, 是指一个 \(\mathscr{C}^{r}\) 映射 \(f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}^{m}\), 满足对任意 \(t \in(a, b), f(t) \in \Sigma\) 。

称 \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{m}\) 是曲面 \(\Sigma\) 在点 \(P_{0}\) 处的一个切向量, 如果存在 \(\Sigma\) 上一 条 \(\mathscr{C}^{r}\) 道路 \(f(t)\), 满足 \(f(0)=P_{0}, f^{\prime}(0)=v_{\text {。 } }\)

曲面 \(\Sigma\) 在点 \(P_{0}\) 处的切空间 \(T_{p_{0} } \Sigma\) 是该点处的所有切向量组成的集合。 \(P_{0}+T_{P_{0} } \Sigma\) 称为曲面 \(\Sigma\) 在点 \(P_{0}\) 处的切平面。

例题

1.设 \[ F(x, y)=x y\left[(x-1)^{2}+(y+1)^{2}-9\right]+8 . \] 验证 \(F(-1,2)=0\), 并在 \((-1,2)\) 附近求 \(F(x, y)=0\) 的所有的解。

解： \[ \partial_{y} F(-1,2)=-16<0, \] 所以根据隐函数定理, 存在 \(\mathscr{C}^{\infty}\) 函数 \(y=g(x)\) 使得在 \((-1,2)\) 附近 \(F(x, y)=0\) 的所有的解都位于函数 \(y=g(x)\) 的图像上。 记 \(x=-1+u, y=2+v\), 则 \[ F(-1+u, 2+v)=16 u-16 v-10 u^{2}+20 u v-8 v^{2}+o\left(u^{2}+v^{2}\right) \] 所以在 \((-1,2)\) 咐近 \(F(x, y)=0\) 的所有的解近似位于直线 \(u-v=0\) 上， 即 \(y=g(x)=3+x+o(x+1)(x \rightarrow-1)\) 。 \[ F(-1+u, 2+u+w)=-16 w+2 u^{2}+o\left(u^{2}\right)+o(w)=0 \] 所以 \(w=\dfrac{u^{2} }{8}+o\left(u^{2}\right)\), 因此 \[ y=g(x)=2+(x+1)+\frac{(x+1)^{2}}{8}+o\left((x+1)^{2}\right), \quad x \rightarrow-1 \] 我们就通过这种方法来获得隐函数在某点处任意阶的近似。（而不是套公式）