多元微积分笔记（七）重积分
本文最后更新于：2022年4月18日 下午
多元微积分笔记（七）重积分
1. Riemann 积分与 Darboux 积分
一元积分中引入了 Riemann 积分与 Darboux 积分的概念，这两个概念在多元积分中可以推广。
首先是高维下的区间概念：\(\mathbb{R}^{m}\) 中的 \(\mathbf{a}=\left(a^{1}, \ldots, a^{m}\right), \mathbf{b}=\left(b^{1}, \ldots, b^{m}\right) \in \mathbb{R}^{m}\), \[ I=[\mathbf{a}, \mathbf{b}]:=\left\{x=\left(x^{1}, \ldots, x^{m}\right) \mid x^{i} \in\left[a^{i}, b^{i}\right], i=1,2 \ldots, m\right\} \] Riemann 和：\(S(\mathcal{P}, \xi)=\sum\limits_{I \in \mathcal{P}} f(\xi)|I|\) ，其中 \(\mathcal{P}\) 是区间 \(I\) 的划分：$ I_{1}, , I_{n}$ 是有界闭区间， \(I=I_{1} \cup \cdots \cup I_{n}\), 它们中任何两个都没有共同内点。而 \(\xi_k\in I_k,k=1,2,\cdots,n\) 。
Darboux 积分：\(\bar{S}(\mathcal{P})=\sum\limits_{k=1}^{n} \sup\limits _{x \in I_{k}} f(x)\left|I_{k}\right|, \quad \underline{S}(\mathcal{P})=\sum\limits_{k=1}^{n} \inf\limits _{x \in I_{k}} f(x)\left|I_{k}\right|\) ，分别为 Darboux 上和和 Darboux 下和。\(\displaystyle\bar{\int}_{I} f(\mathbf{x}) \mathrm{d} x_1\mathrm{d} x_2\cdots\mathrm{d} x_n=\inf _{\mathcal{P}} \bar{S}(\mathcal{P}), \underline{\int}_{I} f(\mathbf{x}) \mathrm{d} x_1\mathrm{d} x_2\cdots\mathrm{d} x_n=\sup _{\mathcal{P}} \underline{S}(\mathcal{P})\) ，两者相等时称 Darboux 可积。
Lebesgue准则：\(f\) 在有界闭区间 \(I\) 上 Riemann 可积, 当且仅当 \(f\) 有界, 且 \[ D=\{\mathbf{x} \in I \ | \ f \text { 在 } \mathbf{x} \text { 处间断 }\} \] 是零测集（即 $ I $ 总可被长度之和任意小的一列区间覆盖）
推论：在任何非空有界闭区间上, 连续函数都是 Riemann 可积的。
一元积分的性质，如线性、保序性、Cauchy-Schwarz 不等式、积分中值定理，在多元积分中都成立。